Cho tam giác ABC thỏa mãn | vecto AB + vecto AC | = | vecto AB  - vecto AC|. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải

Gọi D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành.

Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD\)

Ta lại có: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CB} \)

⇒ \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB\)

Mà \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|\) nên AD = CB.

Hình bình hành ABCD có AB = CB nên ABCD là hình chữ nhật. Do đó tam giác ABC vuông tại A.