Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Đường cao AD, BE. a) Chứng minh: Tứ giác AEDB nội tiếp.

7/9

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\left( O \right)$ . Đường cao $AD,BE$.

a) Chứng minh: Tứ giác $AEDB$ nội tiếp.

b) Kẻ đường kính $AM$ của $\left( O \right)$. Gọi $F$ là hình chiếu của $B$ trên $AM$. Chứng minh: $AB.AC = AM.AD$ và $DF\, \bot AC$.

c) Gọi $I$là trung điểm của $BC$. Chứng minh: $E,I,F$thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ nội tiếp \(\left( O \rig (ảnh 1)$

a) Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp;

C/m 3 điểm A, B, E thuộc đường tròn đường kính AB

C/m 3 điểm A, B, D thuộc đường tròn đường kính AB

Suy ra tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB

b1) Xét đường tròn tâm O có

\[\widehat {ABD} = \widehat {AMC}\](góc nội tiếp cùng chắn một cung AC)

C/m $Δ A B D ∽ Δ A M C$ (g.g) $ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow AB.AC = AM.AD$(đpcm)

b2) C/m DF $ \bot $ AC

Chứng minh tg ABFE nội tiếp

Suy ra: $\widehat {EBF} = \widehat {EAF}$(hai góc nội tiếp chắn cung EF)

Chứng minh tứ giác ABDF nội tiếp

Suy ra: $\widehat {BAD} = \widehat {BFD}$(hai góc nội tiếp chắn cung BD)

Mà $\widehat {BAD} = \widehat {EAF}$(do $Δ A B D ∽ Δ A M C$ )

Suy ra: \[\widehat {EBF} = \widehat {BFD}\] Mà 2 góc này ở vị trí so le trong $ \Rightarrow BE//DF$

Lại có $BE \bot AC \Rightarrow DF \bot AC$

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm E, F, I thẳng hàng.

C/m tứ giác BOFI nội tiếp đường tròn đường kính BO

$ \Rightarrow \widehat {BOI} = \widehat {BFI}$

Có $\widehat {BOI} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}$

và $\widehat {BAE} = \widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}$

$ \Rightarrow \widehat {BAE} = \widehat {BFI}$

Xét đường tròn đường kính AB $ \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {ABE}$

$ \Rightarrow \widehat {AFE} + \widehat {BFI} = \widehat {ABE} + \widehat {BAE} = {90^0}$

$ \Rightarrow \widehat {AFE} + \widehat {BFI} + \widehat {AFB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$ \Rightarrow \widehat {EFI} = {180^0} \Rightarrow $ Ba điểm E, F, I thẳng hàng (đpcm)