Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc A cắt BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn (M, MB), K là tiếp điểm.

a) Đúng. Vì \[AM\] là tia phân giác \[\widehat {BAC}\] nên \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\].

Ta có: \[\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[MC\]) suy ra \[\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\].

b) Sai. Xét \[\Delta MBD\] và \[\Delta MBA\] có: \[\widehat M\] chung và \[\widehat {MBD} = \widehat {MAB}\] (cmt)

Do đó, $\Delta MBD\backsim \Delta MAB$ (g.g)

c) Đúng. Vì $\Delta MBD\backsim \Delta MAB$ (cmt) nên \[\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{MD}}{{MB}}\].

Lại có \[AK\] với đường tròn \[\left( {M,\,MB} \right),\,\,K\] là tiếp điểm nên \[MB = MK\].

Do đó \[\frac{{MK}}{{MA}} = \frac{{MD}}{{MK}}\].

Xét \[\Delta DMK\] và \[\Delta KMA\] có: \[\frac{{MK}}{{MA}} = \frac{{MD}}{{MK}}\] và \[\widehat M\] chung.

Do đó $\Delta DMK\backsim \Delta KMA$ (c.g.c).

d) Đúng. Vì $\Delta DMK\backsim \Delta KMA$ (cmt) nên \[\widehat {KDM} = \widehat {MKA} = 90^\circ \] (hai góc tương ứng).

Suy ra \[DK \bot AM\].