Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC nội tiếp trong đường tròn (O) có tiếp tuyến tại A của

3/4

Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC nội tiếp trong đường tròn (O) có tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC ở T sao cho TB > BC Gọi P và E lần lượt là trung điểm của TA và TC.

1) Chứng minh rằng tứ giác APEB nội tiếp.

2) Gọi giao điểm thứ hai của AE với (O) là F. Láy G thuộc (O) sao cho FG song song với AC. Chửng minh rằng \(\widehat {ATG} = \widehat {TAF}.\)

3) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC,D là giao điểm của AH và BC. M là trung điểm BC. K đối xứng với A qua BC. N thuộc đường thẳng AM sao cho KN song song với HM. Lấy S thuộc BC sao cho NS \( \bot \) NK . Dựng R thuộc tia AK sao cho AR.AH = \(A{D^2}.\;\)Q là điểm sao cho PQ \( \bot \) AS và SQ \( \bot \) AO . Chứng minh rằng điểm đối xứng của A qua QR thuộc đường tròn đường kinh DN.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC nội tiếp trong đường tròn (O) có tiếp tuyến tại A của (ảnh 1)

1) Vì AT là tiếp tuyến của nên ta được \(T{A^2} = TB.TC\). Như vậy, ta được

\(TP.TA = \frac{1}{2}T{A^2} = \frac{1}{2}TB.TC = TB.TE\) và vì tứ giác APEB là tứ giác nội tiếp.

2) Vì EP là đường trung bình của \(\Delta \) TAC , \(\Delta \) FGC là hình thang cân và AT là tiếp tuyến của (O) nên ta thu được \(\widehat {AEP} = \widehat {EAC} = \widehat {FAC} = \widehat {GCA} = \widehat {TAG}\)và \(\widehat {GAC} = \widehat {FCA} = \widehat {TAF} = \widehat {PAE}.\;\)Như vậy, ta được \(\Delta \) AEP \(\~\;\Delta \)ACG (g-g) và dẫn đến \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AP}}{{AG}}\;\) . Lại chú ý \(AT = 2AP\) và \(AC = 2EP\), ta thu được \(\frac{{AE}}{{EP}} = \frac{{2AE}}{{AC}} = \frac{{2AP}}{{AG}} = \frac{{AT}}{{AG}}\). Kết hợp với \(\widehat {AEP} = \widehat {TAG}\) ta thu được \(\Delta \;AEP\;\~\;\Delta \;TAG\) (C.G.C) và vì thế \(\widehat {ATG} = \widehat {TAF}.\)

3) ta xét bổ đề sau:

∆ABC, đường thẳng qua B vuông AC cắt AC,(ABC) tại F,D. E thuộc (ABC) thoả DE//AC. Đường thẳng qua E vuông EF cắt BF tại G, đg thẳng qua B vuông AG cắt đường thẳng qua C vuông AD tại H, L trung điểm AH. CMR AEL = 90

Giải: BH giao EG tại J khi đó J thuộc (BFE). Mặt khác gọi K trung điểm BC thì F,K,J thẳng do BFK = ABE = BEJ = BFJ. Mà do FK vuông AD vuông CH nên J là trung điểm BH => JL // AB nên L thuộc EG => đpcm

Quay lại bài toán: Dựng hbh DKNG, DS' là đg kính của (ADG) khi đó KS'D = AS'D = AGD = DNK => S trùng S'. NG giao BC tại F, NE vuông AD tại E. Khi đó A,F,E,G cùng thuộc 1 đg tròn ( EF = DN = AG )

• Đường thẳng qua E vuông AF cắt đg thẳng qua T vuông AS tại J. Khi đó theo bổ đề, trung điểm Q' của AJ thuộc SG ( để ý T thuộc (AFGE) ). Mà Q'P vuông AS => Q' trùng Q. Hơn nữa biến đổi tỉ số cho ta R là trung điểm AE nên QR // JE vuông AF kết hợp thêm nếu cho JE cắt AF tại A' thì A' thuộc (EF) hay A' thuộc (DN) nên ta có đpcm.