Cho tam giác ABC nhọn với AB > AC . Các đường cao BM , CN cắt nhau tại H .

a/ Chứng minh tứ giác \[AMHN\] nội tiếp

Các đường cao \[BM,\;\,\,CN\] cắt nhau tại\[H\]nên ta có \(\Delta ANH,\,\,\Delta AMH\) vuông tại \[N,\,\,M\]

Xét \(\Delta ANH\) có \[\widehat {ANH} = 90^\circ \] nên ba điểm \(A,\;N,\;H\) nằm trên đường tròn đường kính \(AH\)

Xét \(\Delta AMH\) có \[\widehat {AMH} = 90^\circ \] nên ba điểm \(A,\;M,\;H\) nằm trên đường tròn đường kính \(AH\)

Khi đó bốn điểm \(A,\,\,M,\,\,H,\,\,N\) nằm trên đường tròn đường kính \(AH\)

Vậy tứ giác \[AMHN\]  nội tiếp đường tròn đường kính\[AH\].

 b/ Gọi \[D\] là giao điểm của \[AH\]và\[BC\]. Chứng minh \[DA\] phân giác của \[\widehat {MDN}\]

Có \[\widehat {HMC} = \widehat {HDC} = 90^\circ \]

Xét \(\Delta HMC\) có \[\widehat {HMC} = 90^\circ \] nên ba điểm \(C,\,\,M,\,\,H\) nằm trên đường tròn đường kính \(CH\)

Xét  \(\Delta CDH\)có \[\widehat {HDC} = 90^\circ \] nên ba điểm \(C,\,\,D,\,\,H\) nằm trên đường tròn đường kính \(CH\)

Khi đó bốn điểm \(D,\,\,C,\,\,M,\,\,H\) nằm trên đường tròn đường kính \(CH\)

Suy ra tứ giác \[HDCM\] nội tiếp

Suy ra \[\widehat {HDM} = \widehat {HCM}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung\[HM\])

Có \[\widehat {HDB} = \widehat {HNB} = 90^\circ {\rm{ }}\]

Xét \(\Delta HDB\) có \[\widehat {HDB} = 90^\circ \] nên ba điểm \(B,\,\,D,\,\,H\) nằm trên đường tròn đường kính \(BH\)

Xét \(\Delta HNB\) có \[\widehat {HNB} = 90^\circ \] nên ba điểm \(B,\,\,N,\,\,H\) nằm trên đường tròn đường kính \(BH\)

Khi đó bốn điểm \(D,\,\,B,\,\,N,\,\,H\) nằm trên đường tròn đường kính \(BH\)

Suy ra tứ giác \[HDBN\]  nội tiếp

\[\widehat {NDH} = \widehat {NBH}\] (2 góc nội tiếp cùng chắn cung\[HN\])

Mà \[\widehat {HCM} = \widehat {NBH}\](cùng phụ với\[\widehat {BAC}\])

Suy ra \[\widehat {HDM} = \widehat {HDN}\] Suy ra \[AD\] là phân giác của góc \[\widehat {MDN}\](đpcm).

c/Đường thẳng qua \[D\] và song song với \[MN\,\] cắt \[AB,\,\,CN\] lần lượt tại \[I,\,\,J\]. Chứng minh \[D\] là

trung điểm \[IJ\].

Có \[\widehat {BMC} = \widehat {CNB} = 90^\circ {\rm{ }}\]

Xét \(\Delta MCB\) có \[\widehat {BMC} = 90^\circ \] nên ba điểm \(B,\,\,M,\,\,C\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\)

Xét \(\Delta BNC\) có \[\widehat {BNC} = 90^\circ \] nên ba điểm \(B,\,\,N,\,\,C\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\)

Khi đó bốn điểm \(C,\,\,B,\,\,N,\,\,M\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\)

Suy ra tứ giác \[BCMN\] nội tiếp

Suy ra \[\widehat {HNM} = \widehat {HBD}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung \(CM\))

Tứ giác \(HDBN\) nội tiếp nên \(\widehat {HBD} = \widehat {HND}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung \(HD\))

Suy ra \[\widehat {HNM} = \widehat {HND}\]

Ta có \(IJ\,{\rm{//}}\,MN\,\,\left( {gt} \right)\) Suy ra \(\widehat {HNM} = \widehat {HJI} = \widehat {HJD}\) (Hai góc so le trong bằng nhau)

Suy ra \[\widehat {HND} = \widehat {HJD}\]

Nên tam giác \[DNJ\] cân tại \[D\] (tam giác có 2 góc ở đáy bằng nhau)

Suy ra \[DN = DJ\] (tính chất tam giác cân) (1)

Vì \(\widehat {HND} = \widehat {HJD}\) (chứng minh trên)

Mà \(\widehat {HND} + \widehat {DNI} = \widehat {HNI} = 90^\circ \) và \(\widehat {HJD} + \widehat {NID} = 90^\circ \)( do \(\Delta JNI\) vuông tại \[N\])

Suy ra \[\widehat {DNI} = \widehat {NID}\]

Tam giác \(\Delta NID\) cân tại \[D\] (tam giác có 2 góc ờ đáy bằng nhau)

Suy ra \[DN = DI\] (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DI = DJ = DN\)

Vậy \[D\] là trung điểm \[IJ\]