Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trong ( O )

8/9

Cho tam giác \[{\rm{ABC}}\] nhọn nội tiếp đường trong \[{\rm{(O)}}\], các đường cao \[{\rm{AD}}{\rm{, BE}}{\rm{,CF}}\] cắt nhau tại \[{\rm{H}}{\rm{.}}\]Kẻ đường kính \[{\rm{AQ}}\] của đường tròn \[{\rm{(O)}}\]cắt cạnh \[{\rm{BC}}\] tại \[{\rm{I}}{\rm{.}}\]

1) Chứng minh bốn điểm \[A,F,H,E\]cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi \[{\rm{P}}\]là giao điểm của \[{\rm{AH}}\] và \[EF\]. Chứng minh \(\widehat {BAD}\) = \(\widehat {CAQ}\)

3) Chứng minh rằng: \[\Delta AEP\]∽\[\Delta ABI\]và \[PI\parallel HQ\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Media VietJack

1) \(BE \bot AC\)(gt) \( \Rightarrow \widehat {AEH} = {90^0}\)

\(CF \bot AB\)(gt) \( \Rightarrow \widehat {HFA} = {90^0}\)

Ta có: \[\Delta AEH\] vuông tại \(E\) nên ba điểm \(A,E,H\)cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\).

\[\Delta HFA\] vuông tại \(F\) nên ba điểm \(H,F,A\)cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

Nên \(4\) điểm \(A,F,H,E\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(AH.\)

2) Xét đường tròn \((O)\)có:

\(\widehat {ABC} = \widehat {AQC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\(\widehat {ACQ} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ACQ\) có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AQC}\) ; \(\widehat {ADB} = \widehat {ACQ} = {90^0}\)

Suy ra \(\Delta ADB\)∽\(\Delta ACQ\) (g – g)

\( \Rightarrow \widehat {BAD}\) = \(\widehat {CAQ}\) (hai góc tương ứng)

3) Vì \(\widehat {BAD}\) = \(\widehat {CAQ}\) (hai góc tương ứng)

Vì \(\widehat {BAD} = \widehat {CAQ}\;\)\( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {PAE}\)\( \Rightarrow \;\widehat {BAD} + \widehat {DAQ} = \widehat {DAQ} + \widehat {QAC}\)\[ \Rightarrow \;\widehat {BAQ} = \widehat {DAC}\] hay \[\widehat {BAI} = \widehat {PAE}\]

\(BE \bot AC\)(gt) \( \Rightarrow \widehat {BEC} = {90^0}\) ; \(CF \bot AB\)(gt) \( \Rightarrow \widehat {CFB} = {90^0}\)

Ta có: \[\Delta BEC\] vuông tại \(E\) nên ba điểm \(B,E,H\)cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

\[\Delta BFC\] vuông tại \(F\) nên ba điểm \(B,F,C\)cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

Nên \(4\) điểm \(B,F,E,C\)cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC\)

Suy ra tứ giác\(BFEC\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {FBC} + \widehat {FEC} = {180^0}\)

Mà \( \Rightarrow \widehat {AEF} + \widehat {FEC} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {FBC} = \widehat {AEF}\)

hay \(\widehat {ABI} = \widehat {AEP}\)

Xét \(\Delta AEP\) và \(\Delta ABI\) có: \(\widehat {ABI} = \widehat {AEP}\) (cmt); \[\widehat {BAI} = \widehat {PAE}\]

nên \(\Delta AEP\) ∽\(\Delta ABI\) (g – g)

Vì \(\Delta AEP\)∽\(\Delta ABI\) \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AP}}{{AI}}\;\;\quad \left( 1 \right)\)

Chứng minh \(\Delta AEH\) ∽\(\Delta ABQ\) \( \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AH}}{{AQ}}\quad \;\left( 2 \right)\)

Từ\((1)\)và \((2)\)\( \Rightarrow \frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AQ}}\)\( \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AQ}}\)

\( \Rightarrow \)\[PI\parallel HQ\] ( định lý Talet đảo)