Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O , đường cao BE và CF . Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại S , BC và OS cắt nhau tại M . a) Chứng minh rằng AB . MB = AE . BS

16/21

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường cao $BE$ và $CF$. Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S$, $BC$ và $OS$ cắt nhau tại $M$.

a) Chứng minh rằng $AB.MB = AE.BS$.

b) Hai tam giác $AEM$ và $ABS$ đồng dạng.

c) Gọi $AM$ cắt $EF$ tại $N$, $AS$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh rằng $NP \bot BC$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm (ảnh 1)$

a) Ta chứng minh $\Delta ABE \sim \Delta BSM$.

b) Từ câu a ta có $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{MB}}{{BS}}$ (1)

mà $MB = EM$ (do $\Delta BEC$ vuông tại \[E\] có $M$ là trung điểm của $BC$)

nên \[\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{EM}}{{BS}}\] Có $\widehat {MOB} = \widehat {BAE};\widehat {EBA} + \widehat {BAE} = {90^0};$

$\widehat {MBO} + \widehat {MOB} = {90^0}$ nên $\widehat {MBO} = \widehat {EBA}$

do đó $\widehat {MEB} = \widehat {OBA} = \widehat {MBE}$. Suy ra $\widehat {MEA} = \widehat {SBA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta AME \sim \Delta ABS$ (đpcm).

c) Dễ thấy $SM$ vuông góc với $BC$ nên ta chứng minh $NP//SM$.

Xét $\Delta ANE$ và $\Delta APB$: Từ câu b) ta có $\Delta AEM \sim \Delta ABS$ nên $\widehat {NAE} = \widehat {PAB}$. Mà $\widehat {AEN} = \widehat {ABP}$ (do tứ giác $BCEF$ nội tiếp). Do đó $\Delta ANE \sim \Delta APB$ nên $\frac{{AN}}{{AP}} = \frac{{AE}}{{AB}}$.

Lại có $\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AE}}{{AB}}\left( {\Delta AEM \sim \Delta ABS} \right)$. Suy ra $\frac{{AM}}{{AS}} = \frac{{AN}}{{AP}}$ nên trong tam giác \[AMS\] có $NP//SM$ (định lý Talet đảo). Do đó bài toán được chứng minh.