Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, HK vuông góc với AB tại K và HI vuông góc với AC tại I.

a) Ta có: AKH^=90° (vì HK⊥AB tại K);

AIH^=90° (vì HI⊥AC tại I)

Xét tứ giác AKHI có:

AKH^+AIH^=90°+90°=180°, mà hai góc này ở vị trí đối nhau.

Vậy tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn.

b) Vì tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn (cmt) nên HKI^=HAI^ (hai góc nội tiếp cùng chắn HI⏜)

Hay HKE^=IAE^.

Xét ΔEKH và ΔEAI có: KEH^=AEI^ (hai góc đối đỉnh) và HKE^=IAE^

Do đó: ΔEKH∽ΔEAI (g.g) ⇒EKEA=EHEI⇒EA⋅EH=EK⋅EI.

c) Kẻ đường kính AF của đường tròn (O;R); Gọi J là giao điểm của KI và AO.

Xét đường tròn (O;R) có F1^=B1^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC (1) 

Lại có B1^=H1^ (vì cùng phụ với H2^) (2)

Vì tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn (cmt)

nên H1^=I1^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: F1^=I1^.

Mà trong đường tròn (O;R) có: ACF^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Hay A1^+F1^=90°    4.  

Từ (3) và (4) suy ra A1^+I1^=90°⇒AJI^=90°.

Vậy KI vuông góc với AO.

d) Giả sử điểm A và đường tròn (O;R) cố định, còn dây BC thay đổi sao cho AB⋅AC=3R2.

Có ACF^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

ABH^=AFC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC⏜ của đường tròn O;R.

Xét ΔAHB và ΔACF có: AHB^=ACF^=90° và ABH^=AFC^.

Do đó: ΔAHB∽ΔACF (g.g). Suy ra AHAC=ABAF⇒AH=AB⋅ACAF=3R22R=3R2.

Ta có: SABC=12AH⋅BC=12⋅3R2⋅BC=3R4⋅BC.

Do R không đổi nên SABC lớn nhất ⇔BC lớn nhất.

Gọi M là trung điểm của BC thì OM⊥BC. Do đó BC lớn nhất ⇔OM bé nhất.

Ta có OM≥AM−AO≥AH−AO=3R2−R=R2.

OM bé nhất bằng R2⇔A,O,M thẳng hàng và H≡M.

Khi đó AH=AM=AO+OM=R+R2=3R2

Vậy diện tích ΔABC lớn nhất khi BC cách A một khoảng bằng 3R2(ΔABC đều).