Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) . AD , BE , CF là ba đường cao của tam giác ABC cắt nhau tại H

a)     Chứng minh bốn điểm \(A,\,F,\,H,\,E\) cùng thuộc một đường tròn.

\[\widehat {AFH} = {90^o}\]( Vì \(CF\) là đường cao \(\Delta ABC\)) \( \Rightarrow \)\(F\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

     \[\widehat {AEH} = {90^o}\]( Vì \(BE\) là đường cao \(\Delta ABC\))\( \Rightarrow \)\(E\) thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

\( \Rightarrow \) 4 điểm \(A,\,F,\,H,\,E\)cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

b)     Chứng minh \[AD\,.\,AM = AB\,.\,AC\,\,?\]

Ta có \[\widehat {ACM} = {90^o}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\[\widehat {ADB} = {90^o}\] ( Vì \(AD\) là đường cao \(\Delta ABC\))

\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {AMC} = {90^o}\)

 \[\widehat {ABC} = \widehat {AMC}\](\(2\) góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\) của \(\left( O \right)\))

 \[ \Rightarrow \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}} \Rightarrow AD.AM = AB.AC\]

c)     Chứng minh: \(H,\,K,\,M\)  thẳng hàng và \(PI//HK\).

                                                                                 

Chứng minh : \(CM//BH\), \(BM//CH\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BHCM\)là hình bình hành.

\( \Rightarrow \) Hai đường chéo \(HK\) và \(BC\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

=> \(K\) là trung điểm của \(HM\) \( \Rightarrow \) \(H,\,K,\,M\) thẳng hàng

\[ \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {BAI}\]

Chứng minh \[\widehat {AEF} = \widehat {ABI}\]

Chứng minh  \( \Rightarrow \)\[\frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AE}}{{AB}}\]

Chứng minh \( \Rightarrow \)\[\frac{{AH}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AB}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{AP}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}}\]\[ \Rightarrow \frac{{AP}}{{AH}} = \frac{{AI}}{{AM}}\] \[ \Rightarrow \]PI // HM (Định lý Thalès đảo).

Vậy \(PI//HK\)