Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia CB tại S. Kẻ OH vuông góc BC (H thuộc BC). a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, H cùng thuộc m

8/9

Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn (O) ($AB < AC$). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia CB tại S. Kẻ $OH \bot BC(H \in BC)$.

a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt đường thẳng KC tại P. Chứng minh $\widehat {SHA} = \widehat {POK}$ và $PK.CH = AB.OK$.

c) Gọi D là giao điểm của AP với (O) (D khác A). Q là giao điểm của DC và BK, I là giao điểm của BC và DK. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt SA tại J. Chứng minh $QI\parallel BJ$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$$ \Rightarrow $ $QI \bot BD$ Mà $JB \bot BD$ ($JB$là tiếp tuyến của (O) (ảnh 1)$

a) Chứng minh bốn điểm S, A, O, H cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: $OA \bot AS$ (vì $SA$ là tiếp tuyến của (O)$ \Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \Delta SAO$ nội tiếp đường tròn đường kính $SO$

$ \Rightarrow S,A,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$ (1)

Ta có: $OH \bot BC$$ \Rightarrow \widehat {SHO} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \Delta SHO$ nội tiếp đường tròn đường kính $SO$

$ \Rightarrow S,H,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $SO$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm $S,O,H,A$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $SO$

$$ \Rightarrow $ $QI \bot BD$ Mà $JB \bot BD$ ($JB$là tiếp tuyến của (O) (ảnh 2)$

a) Kẻ đường kính AK của (O). Tia SO cắt đường thẳng KC tại P. Chứng minh $\widehat {SHA} = \widehat {POK}$ và $PK.CH = AB.OK$.

b1) Ta có $\widehat {SOA} = \widehat {POK}$(hai góc đối đỉnh)

Xét đường tròn đường kính $SO$ có :

$\widehat {AOS} = \widehat {AHB}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AS$)

Lại có $\widehat {SOA} = \widehat {POK}$(hai góc đối đỉnh)

Suy ra $\widehat {SHA} = \widehat {POK}$

b2) Xét $\left( O \right)$có $\widehat {ABC} = \widehat {AKC}$(2 góc nội tiếp cùng chắn )

Chứng minh $\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)$

Suy ra $\frac{{AB}}{{PK}} = \frac{{BH}}{{OK}}\,\,\,m\`a \,\,\,BH = CH$

$ \to AB.OK = PK.CH$

c) Gọi D là giao điểm của AP với (O) (D khác A). Q là giao điểm của DC và BK, I là giao điểm của BC và DK. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt SA tại J. Chứng minh $QI\,{\rm{//}}\,BJ$.

$$ \Rightarrow $ $QI \bot BD$ Mà $JB \bot BD$ ($JB$là tiếp tuyến của (O) (ảnh 3)$

$\Delta ABH \sim \Delta PKO(g - g)$

$ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta PKA$(bổ đề trung tuyến)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{A C B} = \hat{P A K} \\ m à \hat{B C K} = \hat{B A K} (= \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{B K}) \\ \hat{A C B} + \hat{B C K} = \hat{P A K} + \hat{B A K} \\ \Rightarrow \hat{P A B} = 90 ° \end{array}$

$ \Rightarrow $$\widehat {DAB} = 90^\circ $

$ \Rightarrow $ $BADK$ là hình chữ nhật

$ \Rightarrow $$B,O,D$thẳng hàng

$ \Rightarrow $$\widehat {BKD} = 90^\circ $

Xét $\Delta BDQ$ có $DK,BC$ là đường cao

$ \Rightarrow $ $QI \bot BD$

Mà $JB \bot BD$ ($JB$là tiếp tuyến của (O)

$ \Rightarrow $ $JB//QI$