Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $AD$ là đường cao. Gọi

4/5

Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $AD$ là đường cao. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $AB$, $AC$.

1) Chứng minh tứ giác $AEDF$ nội tiếp và $AE.AB = AF.AC$.

2) Gọi $AP$ là đường kính của đường tròn $\left( O \right)$. Chứng minh $AP$ vuông góc với $EF$.

3) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Đường tròn đường kính $AH$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại điểm thứ hai $T$. Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $BTC$. Chứng minh tam giác $HKT$ vuông tại $H$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, $AD$ là đường cao. Gọi (ảnh 1)$

1)Ta có $\widehat {AED} = 90^\circ $, $\widehat {AFD} = 90^\circ $

Xét tứ giác $AEDF$ có $\widehat {AED} + \widehat {AFD} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $ suy ra tứ giác $AEDF$ nội tiếp.

Trong tam giác vuông $ABD$ có $DE$ là đường cao suy ra $AE.AB = A{D^2}\,\,\,\left( 1 \right)$.

Trong tam giác vuông $ACD$ có $DF$ là đường cao suy ra $AF.AC = A{D^2}\,\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có $AE.AB = AF.AC$.

2)Do $AE.AB = AF.AC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}$, mà $\widehat {BAC}$ chung

Suy ra

$ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ACB}$

Ta có $\widehat {BAP} = \widehat {BCP}$

Suy ra $\widehat {AEF} + \widehat {BAP} = \widehat {ACB} + \widehat {BCP} = \widehat {ACP} = 90^\circ $

Vậy $AP$ vuông góc với $EF$.

3)Ta có $AH \bot BC$, $TK \bot BC \Rightarrow AH\parallel TK$.

Do $BH \bot AC$, $PC \bot AC \Rightarrow BH\parallel PC$.

Do $CH \bot AB$, $PB \bot AB \Rightarrow CH\parallel PB$.

Suy ra tứ giác $BHCP$ là hình bình hành.

Gọi $I$ là trung điểm $BC$, ta có $OI = \frac{1}{2}AH$.

Tương tự $OI = \frac{1}{2}TK \Rightarrow AH = TK$.

Khi đó tứ giác $AHKT$ là hình bình hành.

$ \Rightarrow AT\parallel HK$.

Mà $\widehat {ATH} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {THK} = 90^\circ $

Vậy tam giác $HKT$ vuông tại $H$.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Nam Định có đáp án

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), \(AD\) là đường cao. Gọi