Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, gọi N là trung điểm của cạnh AC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm Q sao cho NQ = NM. Chứng minh rằng: a) tam giác AMN = tam giác CQN  

a) Xét \(\Delta AMN\)và \(\Delta CQN\)có:

\(NA = NC\)(\(N\)là trung điểm\(AC\))

   \(\widehat {ANM} = \widehat {CNQ}\)(hai góc đối đỉnh)

     \(NM = NQ\)(gt)

Suy ra\(\Delta AMN = \Delta CQN\)(c.g.c)

b) Ta có \(\Delta AMN = \Delta CQN\) (cmt)

Suy ra  (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AM\parallel QC \Rightarrow MB\parallel QC\)(đpcm).

c) Vì \(\Delta AMN = \Delta CQN\) (cmt) nên \(MA = QC\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(MA = MB\)(\(M\) là trung điểm \(AB\)) nên \(MB = QC\).

Vì \[MB\parallel QC\](cmt) nên \(\widehat {BMC} = \widehat {QCM}\) (hai góc so le trong).

Xét \(\Delta BMC\)và \(\Delta QCM\)có:

\(MB = QC\)(cmt)

\(\widehat {BMC} = \widehat {QCM}\)(cmt)

\(MC\)là cạnh chung

Do đó \(\Delta BMC = \Delta QCM\) (c.g.c)

Suy ra \(BC = QM\)(hai cạnh tương ứng).

Lại có \(MN = \frac{1}{2}MQ\) do đó \(MN = \frac{1}{2}BC\)(đpcm).