Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn ( O ) đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại E và D

a) Vì \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {BDC}\) là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên: \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ \)

Suy ra hai điểm \(E\) và \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Do đó bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Vậy tứ giác \(AEHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\)

b) Chứng minh \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(AI \bot BC\)

Chứng minh được  (g.g)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BI}}{{BE}}\) hay \(AB.BE = AI.BC\) (1)

Tương tự: \(AC.CD = AI.BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AB.BE + AC.CD = BI.BC + CI.BC = \left( {BI + CI} \right).BC = B{C^2}\)

Vậy \(AB.BE + AC.CD = B{C^2}\)

c) Chứng minh 5 điểm \(A\,,\,M\,,\,I\,,\,O\,,\,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AO\), suy ra tứ giác \(AMIN\) nội tiếp , suy ra \(\widehat {AMI} + \widehat {ANI} = 180^\circ \) (*)

Chứng minh  (g.g), suy ra \(\frac{{AE}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(AE.AB = AI.AH\) (3)

Chứng minh  (g.g), suy ra \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) hay \(AB.AE = A{M^2}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra  hay \(\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}}\)

Chứng minh  (c.g.c), suy ra \(\widehat {AMI} = \widehat {AHM}\) (**)

Tương tự: \(\widehat {ANI} = \widehat {AHN}\) (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra \(\widehat {AHM} + \widehat {AHN} = 180^\circ \)

Vậy ba điểm \(M\), \(H\), \(N\) thẳng hàng.