Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Chọn câu đúng. AB + AC > HA +HB + HC

Đáp án A

Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại F, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E

Vì AE//HF (cách vẽ) nên EAH^=FHA^ (hai góc so le trong bằng nhau)

Vì AF//HE (cách vẽ) nên AHE^=HAF^ (hai góc so le trong bằng nhau)

Xét ∆AEH và ∆HFA có:

AH cạnh chung

EAH^=FHA^cmtAHE^=HAF^cmt⇒∆AEH=∆HFAg.g.c

⇒EH=AF; AE=HF (hai cạnh tương ứng)

Vì BH⊥ACFH//AC⇒BH⊥FH

Ta có: BF;BH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ B đến FH nên BF > BH (quan hệ đường xiên - đường vuông góc)

Vì CH⊥ABEH//AB⇒CH⊥EH

Ta có: CE;CH lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến FH nên CE > CH

(quan hệ đường xiên - đường vuông góc)

Xét ∆AEH có: AE + EH > HA (bất đẳng thức tam giác)

Ta có: AB + AC = AF + FB + AE + EC

⇒ AB + AC = EH + FB + AE + EC (vì EH = AF (cmt))

⇒ AB + AC = (AE + EH) + FB + EC > HA + HB + HC

Vậy AB + AC > HA + HB + HC