Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC.  Gọi N là trung điểm của AC.  Lấy điểm D trên tia BN sao cho BN = ND.

a) Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên ABCD là hình bình hành.

Do đó AD // BC.

Ta có AP⊥BC;  AD // BC suy ra AP⊥AD hay PAQ^=90°.

Vì AP⊥BC ,  CQ⊥AD  nên APC^=90°;  AQC^=90°.

Tứ giác APCQ có PAQ^=90°; APC^=90°;  AQC^=90° nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo AC, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ.

b) Theo câu a, ABCD là hình bình hành, nên để ABCD là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện AB⊥BC,  AB=BC hay ΔABC vuông cân tại B

Vậy để tứ giác ABCD là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại B.