(3,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn, cân tại \(A\). Kẻ đường cao \(AH\) \(\left( {H \in BC} \right)\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và lấy điểm \(K\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(HK\).
a) Chứng minh tứ giác \(AKCH\) là hình chữ nhật và \(HM = \frac{1}{2}AB\).
b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(BK\). Chứng minh tứ giác \(ABHK\) là hình bình hành và \(OM\,{\rm{//}}\,BC\).
c) Kẻ đường cao \(CF\) của tam giác \(ABC\) \(\left( {F \in AB} \right)\). Đường thẳng \(FH\) cắt \(KC\) tại \(P\); đường thẳng \(FK\) cắt \(BC\) tại \(Q\). Tứ giác \(PQFC\) là hình gì? Vì sao?