Cho tam giác ABC nhọn, các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung trực CE đồng quy tại O. Vẽ EF vuông góc với BH tại F. Khi đó:

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

• Xét hai tam giác vuông HOC và FOE, có:

\(\widehat {CHO} = \widehat {EFO} = 90^\circ \)

\(\widehat {HOC} = \widehat {FOE}\) (đối đỉnh)

Do đó, $\Delta HOC\backsim \Delta FOE$  (g.g) suy ra \(\frac{{CH}}{{EF}} = \frac{{OC}}{{OE}}\) (1)

Lại có AD là phân giác góc BAC nên \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{OC}}{{OE}}\) (2)

Từ (1) và (2) có \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{CH}}{{EF}}\).

• Có EF là đường trung bình của tam giác ABH nên \(EF = \frac{1}{2}AH\).

Mà \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{CH}}{{EF}}\) hay \(\frac{{AC}}{{2AE}} = \frac{{CH}}{{2EF}}\) suy ra \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{AH}}\), do đó AC.AH = AB.CH.

Tam giác ABH vuông tại H nên \(AH = AB.\cos \widehat {BAC}\)

Tam giác HBC vuông tại H nên \(CH = BC.\cos \widehat {ACB}\).

Do đó, \(AC.AB.\cos \widehat {BAC} = BC.AB.\cos \widehat {ACB}\) hay \(AC.\cos \widehat {BAC} = BC.\cos \widehat {ACB}\).

Vậy cả 2 khẳng định đều đúng.