Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh: a) Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác

a) Xét ∆ABC có ba đường cao AI, BK, CL nên AI ⊥ BC, BK ⊥ AC, CL ⊥ AB.

Do ∆ABK vuông tại K và ∆ABI vuông tại I nên hai điểm K, I cùng thuộc đường tròn đường kính AB. Do đó tứ giác AKIB nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Do ∆BCL vuông tại L và ∆BCK vuông tại K nên hai điểm L, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó tứ giác BLKC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

b) Do tứ giác AKIB nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối nhau của tứ giác này bằng 180°, suy ra ABI^+AKI^=180°

Mà CKI^+AKI^=180° (hai góc kề bù)

Nên CKI^=ABI^=180°-AKI^ hay IKC^=ABC^.

Tương tự ta cũng có AKL^=ABC^.

Suy ra AKL^=IKC^.

Từ đó ta có 90°-AKL^=90°-IKC^ hay LKH^=IKH^.

Vì vậy KH là đường phân giác của góc LKI.

Tương tự cũng có LH là đường phân giác của góc KLI.

Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.