Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R) .Vẽ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của(O). (a) Chứng minh hệ thức AB.AC=AH.AD. (b) Vẽ BE vuông góc với AD(E thuộcAD ) .

a) Hình vẽ

Xét ∆ABH và ∆ADC, ta có:

\(\widehat {ABH} = \widehat {ADC}\) (Góc nội tiếp cùng chắn ).

\(\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0}\) (\(\widehat {ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\[ \Rightarrow \Delta ABH{\rm{ }} \sim {\rm{ }}\Delta ADC\;(g - g)\]\[ \Rightarrow \frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Leftrightarrow AB.AC = AH.AD\]

b) Chứng minh: \[HE \bot AC\]

Xét tứ giác ABHE, ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AEB} = {90^0}\) (gt). Suy ra tứ gaics \[ABHE\] nội tiếp (4 điểm cách đều trung điểm của AB) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EHC} = \widehat {BAE}\) (Cùng bù với \[\widehat {BHE}\])

Mà: \(\widehat {B{\bf{CD}}} = \widehat {BAE\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn ) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {EH{\bf{C}}} = \widehat {BCD}\)

Ta có: \(\widehat {EH{\bf{C}}},\;\widehat {BCD}\) ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow \]\[HE//CD\]

Lại có: \[CD \bot AC\]\((\;\widehat {{\bf{ACD}}}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\[ \Rightarrow \]\[HE \bot AC\]

c) Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\].

M là trung điểm của BC \[ \Rightarrow \] OM vuông góc với BC (Liên hệ đường kính dây cung)

Xét tứ giác OMFC, ta có: \(\widehat {OM{\bf{C}}} = \widehat {OFC\;}\)

Tứ giác \[OMFC\] nội tiếp (các đỉnh cùng cách đều trung điểm OC)

\[ \Rightarrow \] \(\widehat {CMF} = \widehat {COF\;}\)(góc nội tiếp cùng chắn )

Mà: \(\widehat {CMF} = \widehat {HFM} + \widehat {FHM}\) (Tính chất góc ngoài)

\(\widehat {COF} = \widehat {OAC} + \widehat {OCA}\) (Tính chất góc ngoài) \[ \Rightarrow \] \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA}\) (∆OAC cân tại O)

\[ \Rightarrow \]\(\widehat {OAC} = \widehat {FHM}\) (cmt). \[ \Rightarrow \] \(\widehat {HFM} = \widehat {FHM}\) \[ \Rightarrow \] ∆HFM cân tại M.

\[ \Rightarrow \]\[MF = MH\](1)

Chứng minh tương tự

\[ \Rightarrow \] ∆HEM cân tại M \[ \Rightarrow \]\[ME = MH\](2)

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]\[ME = MH = MF\] \[ \Rightarrow \] M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆\[EHF\]