Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC. Qua điểm D kẻ DE vuông góc với AB và DF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC).

10/11

Cho tam giác $ABC$ nhọn $\left( {AB < AC} \right)$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right).$ Kẻ đường cao $AD$ của tam giác $ABC$. Qua điểm $D$ kẻ $DE$ vuông góc với $AB$ và $DF$ vuông góc với $AC$($E$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$).

a) Chứng minh bốn điểm $A,\,E,\,D,\,F$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AE \cdot AB = AF \cdot AC$.

c) Kẻ đường kính $AI$ của đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $J$ là trung điểm của $DI$. Chứng minh $JE = JF.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Trong tam giác vuông $ABH,$ t (ảnh 1)$

a) Tam giác $AED$ vuông tại $E$ nên ba điểm $A,\;E,\;D$ thuộc đường tròn đường kính $AD.$

Tam giác $AFD$ vuông tại $F$ nên ba điểm $A,\;F,\;D$ thuộc đường tròn đường kính $AD.$

Vậy bốn điểm $A,\;E,\;D,\;F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD.$

b) Ta có $\widehat {AEF} = \widehat {ADF}$ (cùng chắn cung \[AF\] của đường tròn đường kính $AD$);

$\widehat {ADF} + \widehat {FDC} = 90^\circ ,$ $\widehat {FDC} + \widehat {FCD} = 90^\circ $ suy ra $\widehat {ADF} = \widehat {FCD},$

Dẫn đến $\widehat {AEF} = \widehat {ACB}.$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta AEF,$ có $\widehat {BAC}$ chung và $\widehat {AEF} = \widehat {ACB}$

Suy ra $Δ A E F ∽ Δ A C B$ (g.g)

Khi đó $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}$ hay \[AE \cdot AB = AF \cdot AC.\]

$Trong tam giác vuông $ABH,$ t (ảnh 2)$

Ta có $\widehat {EAI} = \widehat {BCI}$ (cùng chắn cung $BI$ của đường tròn $\left( O \right)$).

Ta có $\widehat {EAI} + \widehat {AEF} = \widehat {BCI} + \widehat {ACB} = \widehat {ACI} = 90^\circ $(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\left( O \right)$).

Suy ra $AI \bot EF.$

Gọi $K$ là trung điểm của $AD$, ta có $KJ{\rm{//}}AI$

(đường trung bình của tam giác $ADI$).

Suy ra $KJ \bot EF.$

Mà $KE = KF$ (do $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEDF$).

Suy ra $KJ$ là đường trung trực của $EF.$

Suy ra $JE = JF.$