Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) . Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H . Gọi K là trung điểm BC .

a) Vẽ đúng hình đến ý 1)

\(BE \bot AC\)⇒  \[\widehat {BEC} = {90^0}\]

\(CF \bot AB\) ⇒  \(\widehat {CFB} = {90^0}\)

⇒ Tứ giác \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp

⇒ \(\Delta AEF\) đồng dạng \(\Delta ABC.\)

b) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[\]

Tứ giác BCEF nội tiếp ⇒  \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\)

\(\Delta OAC\) cân tại O ⇒  \(\widehat {EAO} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2}\)

\(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \Rightarrow \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2} = {90^0} - \widehat {ABC}\)

⇒  \(\widehat {AEF} + \widehat {EAO} = {90^0}\)⇒ \(AO \bot EF\)

c) Chứng minh tứ giác \(AFHI\) nội tiếp và \(I,\;J,\;K\) thẳng hàng.

 Chứng minh \({\rm{\Delta }}AMN\) cân tại\(A\) vì\(\widehat {AMN} = \widehat {MBH} + \widehat {MHB} = \widehat {NCH} + \widehat {NHC} = \widehat {ANM}\) ⇒ \(AI \bot MN\)

\(\widehat {AFH} = \widehat {AIH} = {90^0}\) ⇒ Tứ giác \(AFHI\) là tứ giác nội tiếp.

Có \(\widehat {MAH} = \widehat {NAO} \Rightarrow \widehat {IAH} = \widehat {IAO} \Rightarrow IJ||AO\) suy ra \(IJ\)trung trực \(EF\)

Có  \[JE = JF,KE = KF \Rightarrow \;\] \[KI\;\] trung trực \(EF\) ⇒ \(I,\;J,\;K\) thẳng hàng.