Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.

7/9

Cho tam giác \[ABC\] nhọn \[\left( {AB < AC} \right),\] nội tiếp đường tròn \[\left( O \right).\] Các đường cao \[AD,\,\,BE\] của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại H.

a) Chứng minh \[ABDE\] là tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ \[OM\] vuông góc với \[BC\] tại \[M.\] Đường thẳng \[OM\] cắt \[AB,\,\,AC\] theo thứ tự tại P, Q. Gọi \[N\] là trung điểm của PQ. Chứng minh \[\widehat {AQP} = \widehat {BED}\] và \[AP.CM = PN.HC\].

c) Gọi \[I\] là giao điểm của MH với \[\left( O \right).\] Chứng minh ba điểm \[I,\,\,A,\,\,N\] thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Ta có $AD,\,\,BE$ là đường cao của $\Delta ABC$(gt) $ \Rightarrow AD \bot BC,\,BE \bot AC$.

\[ \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ ,\,\,\,\widehat {BEA} = \widehat {BEC} = 90^\circ \].

Xét $\Delta AEB$ vuông tại $E$ (\[\widehat {BEA} = 90^\circ \]): AB là cạnh huyền.

Suy ra $\Delta AEB$ nội tiếp đường tròn đường kính AB nên ba điểm \[A,B,E\] thuộc đường tròn đường kính AB \[\left( 1 \right)\]

Xét $\Delta ADB$ vuông tại $D$ (\[\widehat {ADB} = 90^\circ \]): AB là cạnh huyền nên $\Delta ADB$ nội tiếp đường tròn đường kính AB .

Suy ra ba điểm \[A,B,D\] thuộc đường tròn đường kính AB \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] suy ra bốn điểm \[A,B,D,E\] thuộc đường tròn đường kính \[AB\].

Do đó, tứ giác \[ABDE\] nội tiếp.

$Do đó $I,A,N$ thẳng hàng. (ảnh 1)$

b) Do $AD \bot BC\,\,{\rm{(cmt)}}{\rm{,}}\,\,\,PM \bot BC\,\,{\rm{(gt)}}$ nên $AD\,{\rm{//}}\,PM$ (từ vuông góc đến song song)

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {BPM}$ (hai góc đồng vị)

Ta có tứ giác \[ABDE\] nội tiếp.

Suy ra $\widehat {BAD} = \widehat {BED} = \frac{1}{2}$sđ $\overset{⏜}{B D}$ (góc nội tiếp chắn cung BD).

Kẻ đường kính AJ.

Chứng minh được: $M$ là trung điểm của $BC$.

Chứng minh được: $BHCJ$ là hình bình hành từ đó suy ra được $H,M,J$ thẳng hàng và $\widehat {BHC} = \widehat {BJC}$.

Chứng minh được: $\widehat {PAQ} = \widehat {BJC}$ (cùng bù $\widehat {ABC}$).

Suy ra: $\widehat {PAQ} = \widehat {BHC}$.

Chứng minh được: $Δ P A Q ∽ Δ C H B (g . g)$

Suy ra \[\frac{{AP}}{{HC}} = \frac{{PQ}}{{BC}} = \frac{{2PN}}{{2CM}} = \frac{{PN}}{{CM}}\] nên \[AP.CM = PN.HC\].

c) Chứng minh được: $Δ P A Q ∽ Δ C H B (g . g)$

Do \[I,H,M\] thẳng hàng và \[H,M,J\] thẳng hàng nên \[I,H,M,J\] thẳng hàng

Suy ra: $\widehat {PAN} = \widehat {CHM} = \widehat {HJB} = \widehat {IAB}$.

Do \[\widehat {PAN} + \widehat {NAB} = 180^\circ \] nên \[\widehat {IAB} + \widehat {NAB} = 180^\circ \]

Do đó $I,A,N$ thẳng hàng.

$Do đó $I,A,N$ thẳng hàng. (ảnh 2)$