Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. M là trung điểm của BC. a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.

a) Hai tam giác BCE vuông tại E và tam giác BCF vuông tại F có chung cạnh huyền BC

Do đó 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Vậy tứ giác BCEF nội tiếp.

b) Tứ giác BCEF nội tiếp nên $\widehat{CFE}=\widehat{EBC}\left(=\frac{1}{2}\text{sđ\hspace{0.17em}}\stackrel{⏜}{EC}\right)$.

Tứ giác HFBD nội tiếp nên $\widehat{EBC}=\widehat{CFD}\left(=\frac{1}{2}\text{sđ\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\stackrel{⏜}{HD}\right)$

Suy ra \[\widehat {CFE} = \widehat {CFD}\] nên \[FC\] là tia phân giác của \[\widehat {EFD}\]

\[\Delta DFE\] có FH là phân giác trong nên \[\frac{{HI}}{{HE}} = \frac{{FI}}{{FE}}\]

Do \[FB \bot FH\] nên FB là phân giác ngoài của tam giác DFE

Suy ra \[\frac{{BI}}{{BE}} = \frac{{FI}}{{FE}}\] nên \[\frac{{BI}}{{BE}} = \frac{{HI}}{{HE}}\] hay \[BE \cdot HI = BI \cdot HE\]

Tia EF cắt đường tròn (O) tại P . Chứng minh: \[A{P^2} = 2AD.OM\]

Tứ giác \[BCEF\] nội tiếp nên \[\widehat {BFE} + \widehat {BCA} = 180^\circ \] suy ra \[\widehat {AFP} + \widehat {BCA} = 180^\circ \]

Tứ giác \[APBC\] nội tiếp nên \[\widehat {APB} + \widehat {BCA} = 180^\circ \]suy ra \[\widehat {AFP} = \widehat {APB}\].

Do đó $\Delta ABP\backsim \Delta APF\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$

Suy ra \[\frac{{AB}}{{AP}} = \frac{{AP}}{{FA}}\] nên \[A{P^2} = AB.FA\,\,\,(1)\]

Do đó $\Delta AHF\backsim \Delta ABD\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(g.g)}$

Suy ra \[\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{FA}}{{AD}}\] nên \[AB.FA = AD.AH\] (2)

Từ (1), (2) suy ra \[A{P^2} = AD.AH\] (3)

Vẽ đường kính AK của (O) nên \[BHCK\] là hình bình hành suy ra H, M, K thẳng hàng.

Tam giác AHK có \[OM\] là đường trung bình nên \[AH = 2OM\] (4)

Từ (3),(4) suy ra\[A{P^2} = 2AD.OM\]