Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC.

a) Ta có: HE⊥AB, HF⊥AC nên AEH^=AFH^=90°.

Tứ giác AEHF có AEH^,  AFH^ là hai góc đối và AEH^+ AFH^=90°+90°=180° nên tứ giác AEHF nội tiếp.

Do AD là đường kính của đường tròn (O) nên ALD^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Tứ giác ALHF có ALH^, AFH^ là hai góc đối và ALH^+ AFH^=90°+90°=180° nên tứ giác ALHF nội tiếp.

b) Ta có: AH⊥BC và HE⊥AB nên EBH^=90°−BHE^=AHE^.

Mà AHE^=AFE^ (do tứ giác AEHF nội tiếp).

Suy ra AFE^=EBC^ (1).

Tứ giác BEFC có góc ngoài tại đỉnh F bằng góc trong tại đỉnh B nên tứ giác BEFC nội tiếp.

Trong đường tròn (O), ta có ABC^=ADC^ (hai góc nội tiếp chắn cung AC) (2).

Từ (1) và (2) suy ra AFE^=ADC^ hay AFK^=KDC^.

Tứ giác CDKF có góc ngoài tại đỉnh F bằng góc trong tại đỉnh D nên tứ giác CDKF nội tiếp.

Suy ra DKF^+CKF^=180°.

Mặt khác ACD^=90° (do AD là đường kính của (O)).

Từ đó suy ra DKF^=90°. Suy ra AD⊥EF tại K.          

c) Tứ giác APBC nội tiếp đường tròn (O) nên APC^=ABC^. (3)

Từ (1) và (3) suy ra APC^=AFE^.

Do đó, hai tam giác APF và ACP đồng dạng (g.g).

Suy ra APAC=AFAP.

Nên AP2=AC.AF.                                           

Lại có AH2=AC.AF (áp dụng hệ thức lượng trong ΔACH vuông tại H có đường cao HF).

Do đó, AP2=AH2. Suy ra AP = AH. 

Vì các tứ giác AEHF, ALHF nội tiếp nên năm điểm A, E, F, H, L cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra tứ giác ALEF nội tiếp.

Từ đó suy ra MEL^=LAF^ (cùng bù với LEF^).

Lập luận tương tự với tứ giác nội tiếp ALBC, ta có MBL^=LAC^.

Từ hai điều trên, suy ra MBL^=MEL^.

Tứ giác MBEL có hai đỉnh kề nhau là B, E cùng nhìn cạnh ML dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác MBEL nội tiếp.                    

Suy ra MLE^=EBC^ (cùng bù với MBE^). (4)

Từ (1) và (4) suy ra MLE^=AFE^.

Lại có AFE^+ALE^=180° (do tứ giác ALEF nội tiếp).

Do đó, MLE^+ALE^=180°.

Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng.