Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) có đường cao $AH$ và nội tiếp đường

8/8

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) có đường cao $AH$ và nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên các cạnh $AB,AC$. Đường kính $AD$ của $\left( O \right)$ cắt $EF$ tại $K$ và $DH$ cắt $\left( O \right)$ tại $L$ ($L$ khác $D$).

a) Chứng minh các tứ giác $AEHF$ và $ALHF$ nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác $BEFC$ nội tiếp và $AD$ vuông góc với \[EF\] tại \[K\].

c) Tia \[FE\] cắt $\left( O \right)$ tại $P$ và cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh $AP = AH$ và ba điểm $A,L,M$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Xét tứ giác $AEHF$ có $\widehat {AEF} = \widehat {AFH} = {90^ \circ }$ nên tứ giác này nội tiếp được.

$Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) có đường cao $AH$ và nội tiếp đường (ảnh 1)$

Xét tứ giác $ALHF$ có $\widehat {ALH} = \widehat {ALD} = {90^ \circ }$ do chắn đường kính $AD$.

Và $\widehat {ALH} = \widehat {AFH} = {90^ \circ }$ nên tứ giác này nội tiếp được.

b) Ta có $\Delta AHB$ vuông tại $H$ nên $AE.AB = A{H^2}$(hệ thức lượng)

Ta lại có $\Delta AHC$ vuông tại $H$ nên $AF.AC = A{H^2}$(hệ thức lượng)

$ \Rightarrow AE.AB = AF.AC$ hay $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}$

$ \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ACB$ (c.g.c)$ \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ACB}$

Nên $\widehat {ACB} + \widehat {FEB} = \widehat {AEF} + \widehat {FEB} = {180^ \circ }$. Mà 2 góc đối nhau nên tứ giác $BCFE$ nội tiếp.

Xét $\widehat {EAD} + \widehat {FEA} = \widehat {BAD} + \widehat {ACB} = \widehat {BAD} + \widehat {ADB} = {90^ \circ }$$ \Rightarrow AD \bot EF$ tại $K$.

c) $\Delta APD$ vuông ở $P$, có $PK$ là đường cao $ \Rightarrow A{P^2} = AK.AD$.

Mà $DKEB$ là tứ giác nội tiếp (do $\widehat K + \widehat B = {90^ \circ }$) $ \Rightarrow AK.AD = AE.AB$ (tính chất cát tuyến)

Mà $\Delta ABH$ vuông tại $H$ và có đường cao từ đỉnh vuông là $AE$ suy ra $AE.AB = A{H^2}$.

Từ trên suy ra $A{P^2} = AK.AD = AE.AB = A{H^2}$

Hay $AP = AH$.

Giả sử $MA$ cắt đường tròn tại $L'$ khác $A$. Khi đó $ML'.MA = MB.MC$

Ta có $BCFE$ nội tiếp được nên $MB.MC = ME.MF$

Lại có $ALEE$ nội tiếp được nên $ME.MF = ML.MA$

Từ trên suy ra $ML'.MA = ML.MA$$ \Rightarrow ML' = ML$ hay $L' \equiv L$.

Vậy $M,L,A$ thẳng hàng.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thành phố Hồ Chí Minh có đáp án

Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có đường cao \(AH\) và nội tiếp đường