Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) có đường cao AD và đường phân giác trong AO ( D , O thuộc cạnh BC ). Kẻ OM ⊥ AB tại M , ON ⊥ AC tại N .

a) Gọi \(E\) là trung điểm \(AO\).

Vì \(\Delta AMO\) vuông tại \(M\) (gt)

\( \Rightarrow EA = EM = EO = \frac{1}{2}AO\) (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)\(\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(EO = EA = ED = \frac{1}{2}AO\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông \(ADO\)) \(\left( 2 \right)\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(EA = EO = EN = \frac{1}{2}AO\) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông \(ANO\)) \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\), \(\left( 3 \right)\) \( \Rightarrow OE = DE = ME = AE = NE = \frac{1}{2}AO\)

Suy ra \(O\),\(M\), \(A\), \(D\), \(N\)thuộc đường tròn tâm \(E\) đường kính \(AO\)

Suy ra \(O\),\(M\), \(D\), \(N\)thuộc đường tròn tâm \(E\) đường kính \(AO\).  

b)  Chứng minh \(\Delta AON = \Delta AOM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra\(\widehat {AON} = \widehat {AOM}\) (hai góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat {BDM} + \widehat {MDA} = 90^\circ \) (do \(AD \bot BC\) tại \(D\))

            \(\widehat {ODN} + \widehat {ADN} = 90^\circ \) (do \(AD \bot BC\) tại \(D\))

            \(\widehat {ADM} = \widehat {AOM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn  của \(\left( {E,\frac{{AO}}{2}} \right)\))

            \(\widehat {ADN} = \widehat {AON}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn  của \(\left( {E,\frac{{AO}}{2}} \right)\))

Suy ra \(\widehat {BDM} = \widehat {ODN}\)

c) Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(AB\), \(AC\) tại \(P\), \(Q\).

Chứng minh \(P\), \(I\), \(O\), \(M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(PO\)

Suy ra \(\widehat {POI} = \widehat {PMI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn .

Chứng minh tứ giác \(INQO\) nội tiếp

Suy ra \(\widehat {IOQ} = \widehat {INA}\) (cùng bù với \(\widehat {INQ}\))

Ta có \(\widehat {PMI} = \widehat {INA}\) (cùng bằng \(\widehat {AON}\), \(\widehat {AOM}\))

Suy ra \(\widehat {POI} = \widehat {QOI}\)

Suy ra \(OI\) là phân giác của \(\widehat {POQ}\)

Ta có: \(OI \bot PQ\) (do \(OI \bot BC\) và \(PQ{\rm{//}}BC\))

Suy ra \(\Delta POQ\) cân tại \(O\)

Suy ra \(OI\) là đường trung tuyến của \(\Delta OPQ\)

Suy ra \(IP = IQ\)

Vì \(PQ{\rm{//}}BC\)

Suy ra  (g - g)

Suy ra \(\frac{{PI}}{{BK}} = \frac{{AI}}{{AK}}\)

Tương tự,  (g - g)

Suy ra \(\frac{{IQ}}{{KC}} = \frac{{AI}}{{AK}}\)

\(\frac{{PI}}{{BK}} = \frac{{IQ}}{{KC}}\)

mà \(PI = IQ\) (cmt)

suy ra \(KB = KC\)

Vậy \(K\) là trung điểm \(BC\).