Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có các đường cao

a) Chứng minh rằng tứ giác \[AIJE\] nội tiếp đường tròn.

Vì \[IJ{\rm{//}}BC\] nên \(IJ \bot AI\).

Ta có \(\widehat {AIJ} = {90^{\rm{o}}}\)

\(\widehat {AEJ} = {90^{\rm{o}}}\)

Suy ra \(\widehat {AIJ} + \widehat {AEJ} = {180^{\rm{o}}}\). Vậy tứ giác \(AIJE\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng \(D\) là trung điểm \(BM\).

Tứ giác \(AEHF\) có \(\widehat {AFH} = \widehat {AEH} = {90^{\rm{o}}}\), suy ra \(AEHF\) nội tiếp đường tròn.

\( \Rightarrow \widehat {FAH} = \widehat {FEH}\) (cùng chắn cung )                                                                                                                               (1)

Tứ giác \(AIJE\) nội tiếp đường tròn, suy ra \(\widehat {IAJ} = \widehat {IEJ}\) (cùng chắn cung )    (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {FAH} = \widehat {IAJ}\)\( \Rightarrow AD\) là đường phân giác góc \(\widehat {BAM}\).

Mà \(AD\) là đường cao tam giác \(BAM\)

\( \Rightarrow \Delta BAM\) cân tại \(A\)\( \Rightarrow D\) là trung điểm \(BM\)

c) Gọi \(L\) là giao điểm của hai đường thẳng \(EF\) và \(BC\). Chứng minh rằng \(\widehat {FLB} = \widehat {CAM}\).

Tứ giác \(AFDC\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {FAD} = \widehat {FCD}\)

Mà \(\widehat {FAD} = \widehat {DAM}\)\( \Rightarrow \widehat {HAM} = \widehat {HCM}\)

\( \Rightarrow AHMC\) nội tiếp đường tròn\( \Rightarrow \widehat {CAM} = \widehat {MHC}\)                                     (3)

\(\Delta HBM\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HMB} = \widehat {HBM}\)

Tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {EFC} = \widehat {EBC}\)

\( \Rightarrow LFHM\) nội tiếp đường tròn.

\( \Rightarrow \widehat {FLM} = \widehat {MHC}\) (góc ngoài của tứ giác nội tiếp)                                          (4)

Từ (3), (4) \( \Rightarrow \widehat {FLB} = \widehat {CAM}\)