Cho tam giác ABC nhọn

8/9

Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn \((O).\) Hai đường cao \(BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại điểm \(H.\) Gọi \[K\] là trung điểm \[BC.\]

a) Chứng minh \(\Delta AEF\) đồng dạng \(\Delta ABC.\)

b) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF.\]

c) Đường phân giác góc \(FHB\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\;\)Gọi \(I\)là trung điểm của \(MN,\,J\)là trung điểm của\(AH.\) Chứng minh tứ giác \(AFHI\)nội tiếp và ba điểm\(I,J,K\)thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Media VietJack a) Chứng minh \(\Delta AEF\) đồng dạng \(\Delta ABC.\)\(BE \bot AC\)⇒ \[\widehat {BEC} = {90^0}\] (TGV)Vẽ đúng hình đến ý 1)⇒ Tứ giác \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp⇒ \(\Delta AEF\) đồng dạng \(\Delta ABC.\)b) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[\]Tứ giác BCEF nội tiếp ⇒ \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\)\(\Delta OAC\) cân tại O ⇒ \(\widehat {EAO} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2}\)\(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \Rightarrow \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2} = {90^0} - \widehat {ABC}\)⇒ \(\widehat {AEF} + \widehat {EAO} = {90^0}\)⇒ \(AO \bot EF\)c) Chứng minh tứ giác \(AFHI\) nội tiếp và \(I,\;J,\;K\) thẳng hàng.Chứng minh \({\rm{\Delta }}AMN\) cân tại\(A\) vì\(\widehat {AMN} = \widehat {MBH} + \widehat {MHB} = \widehat {NCH} + \widehat {NHC} = \widehat {ANM}\) ⇒ \(AI \bot MN\)\(\widehat {AFH} = \widehat {AIH} = {90^0}\) ⇒ Tứ giác \(AFHI\) là tứ giác nội tiếp.Có \(\widehat {MAH} = \widehat {NAO} \Rightarrow \widehat {IAH} = \widehat {IAO} \Rightarrow IJ||AO\) suy ra \(IJ\)trung trực \(EF\)Có \[JE = JF,KE = KF \Rightarrow \;\] \[KI\;\] trung trực \(EF\) ⇒ \(I,\;J,\;K\) thẳng hàng.