Cho tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), điểm \(N\) nằm trêm cạnh
53/55
Cho tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), điểm \(N\) nằm trêm cạnh \(AC\) sao cho \(NA = 2NC\), \(D\) là trung điểm của \(AN\).
a) Chứng minh \(\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \).
b) Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
a) Ta có \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là hai vectơ ngược hướng nhau và \(AC = 3DA\) nên \(\overrightarrow {AC} = - 3\overrightarrow {DA} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \).
b) Ta có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CA} \)\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).