Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia A lấy điểm E sao cho ME = MA. a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác ECM

a) Chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta ECM\).

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ECM\) ta có:

\(MB = MC\) (gt)

\(MA = ME\) (gt)

\(\widehat {AMB} = \widehat {EMC}\) (hai góc đối đỉnh)

Vậy \(\Delta ABM = \Delta ECM\) (c.g.c)

b) Chứng minh: \(AC\,{\rm{//}}\,BE\).

Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta EMB\) ta có:

\(MA = ME\) (gt)

\(MC = MB\) (gt)

\(\widehat {AMC} = \widehat {EMB}\) (hai góc đối đỉnh)

Vậy \(\Delta AMC = \Delta EMB\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {MEB}\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

Vậy AC // BE.

c) Trên đoạn thẳng \(AB\) lấy điểm \(I\), trên đoạn thẳng \(CE\) lấy điểm \(K\) sao cho \(AI = EK\). Chứng minh: Ba điểm \(I,M,K\) thẳng hàng.

\(\Delta ABM = \Delta ECM\)\( \Rightarrow \)\(\widehat {MAB} = \widehat {MEC}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta IMA\) và \(\Delta KME\) ta có:

\(MA = ME\) (gt)

\(IA = KE\) (gt)

\(\widehat {MAB} = \widehat {MEC}\) (cmt)

Vậy \(\Delta IMA = \Delta KME\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {IMA} = \widehat {KME}\) (hai góc tương ứng)

Vì ba điểm A, M, E thẳng hàng nên \(\widehat {AME} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {CMK} + \widehat {KME} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} + \widehat {CMK} + \widehat {IMA} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {IMK} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \) Ba điểm I, M, K thẳng hàng.