Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K.

Kẻ MH⊥BC, AH'⊥BC H,H'∈BC⇒MH€AH'⇒MHAH'=MPAP, (Hệ quả ĐL Talet).

Lại có MHAH'=12MH.BC12AH'.BC=SMBCSABC⇒MPAP=SMBCSABC.

Chứng minh tương tự, ta có MQBQ=SMACSABC; MKCK=SMABSABC.

Suy ra MPAP+MQBQ+MKCK=SMBCSABC+SMACSABC+SMABSABC=1.

Đặt x=MPAP; y=MQBQ; z=MKCK thì x, y, z > 0 và x+y+z=1.

Theo đề bài: MA.MB.MC≥8MP.MQ.MK⇔MAMP.MBMQ.MCMK≥8 

⇔APMP−1BQMQ−1CKMK−1≥8 

Hay: 1x−11y−11z−1≥8

⇔1xyz−1xy+1yz+1xz+1x+1y+1z−1≥8⇔1xyz−x+y+zxyz+1x+1y+1z≥9

⇔1xyz−1xyz+1x+1y+1z≥9 (do x+y+z=1)

 

⇔1x+1y+1z≥9

⇔x+y+z1x+1y+1z≥9
⇔1+xy+xz+yx+1+yz+zx+zy+1≥9
⇔xy+yx−2+yz+zy−2+zx+xz−2≥0

⇔x−y2xy+y−z2yz+z−x2zx≥0.            (*)

Bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng với x, y, z>0.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=13, hay MPAP=MQBQ=MKCK=13 ⇔M là trọng tâm ΔABC.

Vậy MA.MB.MC≥8MP.MQ.MK.