Cho tam giác \[ABC\;\left( {AB > BC > AC} \right)\] có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

a.   Chứng minh rằng bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.

Theo giả thiết ta có:

\[HK \bot BM\]

Đồng thời \[K\] là trung điểm của \[BM\].

Suy ra \[\Delta HBM\] cân tại \[H\]. Suy ra \[\widehat {HBC} = \widehat {HMC}\].

Mặt khác \[\widehat {HBC} = \widehat {HAC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).

Do đó \[\widehat {HAC} = \widehat {HMC}\]. Suy ra bốn điểm \[A,H,C,M\] cùng thuộc một đường tròn.b)

Ta có:

\[\widehat {FBC} = \widehat {FAC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

\[\widehat {FAC} = \widehat {HBC}\] (hai góc cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).

Suy ra \[\widehat {HBK} = \widehat {KBF}\].

\[\Delta HBF\] có \[BK\] đồng thời là đường cao và đường phân giác. Suy ra \[\Delta HBF\] cân tại \[B\]. Do đó \[KH = KF\].

Vì tứ giác \[HBFM\] có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác \[HBFM\] là hình thoi.

Suy ra \[\widehat {NHK} = \widehat {KFP}\].

Xét \[\Delta KHN\] và \[\Delta KFP\] ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {KHN} = \widehat {KFP}\\KH = KF\\\widehat {HKN} = \widehat {FKP}\end{array} \right.\].

Suy ra \[\Delta KHN = \Delta KFP\;\left( {g.c.g} \right)\].

Do đó \[HN = FP\].

Vì:

\[\widehat {HAN} = \widehat {CMN}\] (tứ giác \[AHCM\] nội tiếp)

\[\widehat {ANH} = \widehat {MNC}\] (đối đỉnh)

nên \[\Delta ANH\] đồng dạng với \[\Delta MNC\;\left( {g.g} \right)\].

Suy ra \[\frac{{AN}}{{MN}} = \frac{{NH}}{{NC}} \Leftrightarrow AN.NC = NH.MN\].

Vì \[HN = FP\] nên \[NA.NC = NM.FP\].