Cho tam giác ABC, H là trực tâm. Chứng minh rằng CH.sinB + BH.sinC = BC.

Kẻ các đường cao AD, BE, CF của DABC.

Vì AD, CF là các đường cao cắt nhau tại H của DABC.

Do đó, AD ^ BC, CF ^ AB. Do đó, \(\widehat {{\rm{HDB}}} = \widehat {{\rm{BFH}}} = 90^\circ \). Suy ra, DBFH vuông tại F và DBDH vuông tại D. Do đó, 4 điểm F, H, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính BH. Suy ra \(\widehat {{\rm{FBD}}} + \widehat {{\rm{FHD}}} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {{\rm{DHC}}} + \widehat {{\rm{FHD}}} = 180^\circ \) nên \(\widehat {{\rm{FBD}}} = \widehat {{\rm{DHC}}}\).

DHDC vuông tại D nên CD = CH. sin \(\widehat {{\rm{DHC}}}\)= CH. sin \(\widehat {{\rm{ABC}}}\).

Chứng minh tương tự ta có: BD = BH. sin \(\widehat {{\rm{ACB}}}\).

Ta có: BC = CD + BD = CH.sin \(\widehat {{\rm{ABC}}}\) + BH. sin \(\widehat {{\rm{ACB}}}\) (đpcm).