Cho tam giác ABC. Gọi M,N là trung điểm AB,BC và P là điểm thỏa mãn AP= 2PC

23/24

Cho tam giác \(ABC.\) Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm \(AB,BC\) và \(P\) là điểm thỏa mãn \(\,\overrightarrow {AP} = 2\overrightarrow {PC} .\)

1. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} .\)

2. Biết \(AB = 3a;AC = 6a,\,A = 60^\circ .\) Tính \(\left| {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MP} } \right|\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC. Gọi M,N là trung điểm AB,BC và P là điểm thỏa mãn AP= 2PC (ảnh 1)

1. \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} .\)

2. \(\left| {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \left( { - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \left| { - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{7}{6}\overrightarrow {AC} } \right|\)

\( = \left| {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} } \right| = \left| {\overrightarrow {AK} } \right| = AK.\)

Với \(\overrightarrow {AE} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AF} = \frac{7}{6}\overrightarrow {AC} \) và \(AEKF\) là hình bình hành.

Tính \(AK = \frac{{a\sqrt {163} }}{2}.\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MP} } \right| = \frac{{a\sqrt {163} }}{2}.\)

(Học sinh có thể bình phương vô hướng để tính).