Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho 2MB = 3MC. a) Chứng minh rằng: vectơ AM = 3/5 vectơ AC + 2/5 vectơ AB.

a) Vì \(M\) thuộc đoạn thẳng \(BC\) và \(2MB = 3MC \Rightarrow \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{3}{2}\), do đó: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} \).

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \left( {1 - \frac{3}{5}} \right)\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {AB}  + \frac{3}{5}\overrightarrow {AC} \).

b) Từ giả thiết \(2MB = 3MC\) và \(M \in BC\), ta có điểm \(M\) thỏa mãn đẳng thức vectơ:

\(2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC}  = \vec 0\).

Ta có \(5\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = 5\overrightarrow {KA}  + 2\left( {\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {KM}  + \overrightarrow {MC} } \right)\)

\( = 5\overrightarrow {KA}  + 5\overrightarrow {KM}  + \left( {2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right) = 5\left( {\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KM} } \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\), suy ra \(\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KM}  = 2\overrightarrow {KI} \).

Khi đó: \(P = \left| {5 \cdot 2\overrightarrow {KI} } \right| = 10KI\).

Để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng \(KI\) phải ngắn nhất.

Vì \(K\) di động trên đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và song song với \(BC\), \(KI\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên đường thẳng \(d\).

Do \(d{\rm{//}}BC\) và \(AM\) cắt \(BC\) tại \(M\), hình chiếu \(K\) chính là chân đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến \(d\).