Cho tam giác ABC. Gọi D và E là hai điểm trên cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Vẽ đường trung tuyến AO của tam giác ABC. Trên tia đối của tia OA lấy điểm F sao cho OF = OA. a) Chứng minh D là t

a) Vì \(D\) là trọng tâm của \(\Delta BAF\) nên \(AD\) là một đường trung tuyến của \(\Delta BAF\).

Vì \(AD\) cắt \(BF\) tại \(N\) nên \(FN = BN = \frac{1}{2}BF\).                    (1)

Chứng minh tương tự, ta được \(AM = MC = \frac{1}{2}AC\). (2)

Vì \(AO\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là trung điểm của \(BC\) hay \(OB = OC\).

Xét \(\Delta OFB\) và \(\Delta OAC\) có:

\(OF = OA\) (giả thiết)

\(\widehat {BOF} = \widehat {AOC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(OB = OC\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta OFB = \Delta OAC\) (c.g.c)

Suy ra \(BF = AC\) (hai cạnh tương ứng)      (3)

Và \(\widehat {OFB} = \widehat {OAC}\) (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {OFN} = \widehat {OAM}\).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AM = FN\).

Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta FON\) có:

\(AM = FN\) (chứng minh trên)

\(\widehat {OFN} = \widehat {OAM}\) (chứng minh trên)

\(OF = OA\) (giả thiết)

Do đó \(\Delta AOM = \Delta FON\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {FON}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AOM} + \widehat {FOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {FON} + \widehat {FOM} = 180^\circ \).

Do đó, ba điểm \(M,\,\,O,\,\,N\) thẳng hàng.