Cho tam giác ABC góc A = 90 độ, vẽ AH ^ BC (H thuộc BC). Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HA = HD. a) Chứng minh AB = BD.

a) Xét DAHB và DDHB có:

\(\widehat {{\rm{AHB}}} = \widehat {{\rm{DHB}}} = 90^\circ \) (do AH ^ BC tại H), HA = HD (gt), BH chung.

Do đó, DAHB = DDHB (c – g – c). Suy ra AB = BD.

b) Vì DAHB = DDHB (cmt) nên \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{CBD}}}\).

Xét DABC và DDBC có: \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{CBD}}}\) (cmt), AB = BD (cmt), CB chung.

Do đó, DABC = DDBC (c – g – c). Suy ra \(\widehat {{\rm{BAC}}} = \widehat {{\rm{BDC}}} = 90^\circ \).

c) DAHC vuông tại H nên AH² + HC² = AC² (định lý Pythagore) nên AH² = AC² – HC².

DABH vuông tại H nên AH² + HB² = AB² (định lý Pythagore) nên AH² = AB² – HB².

Do đó, AB² – HB² = AC² – HC². Vậy AC² + HB² = AB² + HC².