Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh ba điểm G, H, O là ba điểm thẳng hàng.

Gọi I là trung điểm của BC, D nằm trên (O) sao cho AD là đường kính.

Ta có \(\widehat {DCA} = \widehat {DBA} = 90^\circ \)

Xét tứ giác BHCD ta có : 

+ BH // DC ( AC) 

+ CH // DB ( AB) 

Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành . 

Khi đó H, I, D thẳng hàng và IH = ID.

Ta lại có :

+ OI = \(\frac{1}{2}\)AH (OI là đường trung bình tam giác DAH ) (1) 

+ GI = \(\frac{1}{2}\)GA (2) 

+ \[\widehat {HAG} = \widehat {GIO}\] (so le trong) (3) 

Do đó ∆GAH đồng dạng ∆GIO (c.g.c) 

Khi đó \(\widehat {HGA} = \widehat {IGO}\)

Do đó \[\widehat {HGA}\] và \[\widehat {IGO}\] là hai góc đối đỉnh nên ta suy ra H, G, O thẳng hàng.