Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho DK = 1/3 AD. Qua B vẽ một đường thẳng song song với CK cắt AC tại M, cắt AD tại G. a) So sánh MB và MC + CB

a) Xét tam giác \(MBC\) có:

\(MB < MC + CB\) (bất đẳng thức tam giác)

Cộng 2 vế với \(MA\) ta được:

\(MB + MA < MC + MA + CB\)

Mà \(MC + MA = CA\) nên \(MB + MA < CA + CB\)

b) Vì \(BM\)song song với \(CK\)nên \(\widehat {GBD} = \widehat {KCD}\) (hai góc so le trong)

Xét tam giác \(GDB\) và tam giác \(KDC\) ta có:

\(\widehat {GBD} = \widehat {KCD}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {GDB} = \widehat {KDC}\) (hai góc đối đỉnh)

\(BD = DC\) (Do \(AD\) là đường trung tuyến nên \(D\) là trung điểm \(BC\)).

Do đó, \(\Delta GDB = \Delta KDC\) (g.c.g)

Suy ra, \(GD = DA\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(DK = \frac{1}{3}AD\) nên \(GD = \frac{1}{3}AD\).

Mà \(AD\) là trung tuyến nên \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Suy ra, \(BM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(M\) là trung điểm của \(AC\).