Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm

a) Vì AM là phân giác ngoài \(\widehat {BAC}\) . AI là phân giác trong góc A nên AI \( \bot \) AM mà GE // AI nên EG // AM hay GE // MN . Bài toán được chứng minh. 

b) Gọi \({P_1}\) là giao của NE và đường tròn (I) thì từ EG // MN, ta có:

         \(\widehat {AN{P_1}} = \widehat {ANE} = \widehat {{P_1}EG} = \widehat {{P_1}GA}\)

Do đó tứ giác ANGP, nội tiếp kết hợp với tứ giác DG\({P_1}E\)  nội tiếp, ta có

                 \(\widehat {{P_1}EM} = \widehat {{P_1}GD} = \widehat {NA{P_1}} = 180^\circ  - \widehat {{P_1}GA}\)

Suy ra tứ giác MA\({P_1}E\)   nội tiếp kết hợp với EG // MN và tứ giác ANG\({P_1}\)  nội tiếp, ta có:

 \(\widehat {G{P_1}M} = \widehat {A{P_1}M} + \widehat {A{P_1}G} = \widehat {AEM} + \widehat {A{P_1}G} = \widehat {DGE} + \widehat {A{P_1}G} = \widehat {GNA} + \widehat {A{P_1}G} = \;180^\circ \)

 Do đó ta được 3 điểm G, \({P_1},\) M thẳng hàng. Vì vậy nên \({P_1}\) trùng P. Nói cách khác MG, NE cắt nhau tại 1 điểm P nằm trên (I). Bài toán được chứng minh.