Cho tam giác \[ABC\]. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác \[ABD,{\rm{ }}ACE\] vuông cân tại đỉnh \[A\] rồi dựng hình bình hành \[AEID\]. Biết \[\widehat {DAI} = \widehat {ABC}\]. Gọi \[K\

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai.b) Đúng.c) Đúng.d) Sai.

⦁ Giả sử \[AI\] cắt \[BC\] ở \[H\]. Ta có: \[\widehat {DAI} + \widehat {DAB} + \widehat {BAH} = 180^\circ \], mà \[\widehat {DAB} = 90^\circ \] (do \[\Delta DAB\] vuông cân tại \[A\]). Suy ra \[\widehat {DAI} + \widehat {BAH} = 90^\circ \]. Do đó ý a) sai. ⦁ Ta có \[\widehat {DAI} = \widehat {ABC}\] (gt) nên \[\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \]. Trong \[\Delta ABH\] có: \[\widehat {ABH} + \widehat {BAH} + \widehat {AHB} = 180^\circ \].

Suy ra \[\widehat {AHB} = 180^\circ \left( {\widehat {ABH} + \widehat {BAH}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \] hay \[AI \bot BC\]. Do đó ý b) đúng.

⦁ Ta có \[\widehat {BAE} = \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = \widehat {BAC} + 90^\circ \] và \[\widehat {DAC} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + 90^\circ \].

Do đó \[\widehat {BAE} = \widehat {DAC}\].

Xét \[\Delta BAE\] và \[\Delta DAC\] có:

\[AB = AD;\,\,\widehat {BAE} = \widehat {DAC};\,\,AC = AE\].

Do đó \[\Delta BAE = \Delta DAC\] (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {CDA}\) (hai góc tương ứng). Do đó ý c) đúng.

⦁ Tam giác \[ABD\] vuông cân tại \[A\] nên \[AK\] vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó \(\widehat {DAK} = \frac{1}{2}\widehat {BAD} = 45^\circ \).

Khi đó \(\widehat {ABK} = \widehat {BAK} = 45^\circ \) nên \[\Delta ABK\] vuông cân tại \[K\], do đó \[KA = KB\]. Do đó ý d) sai.