Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, các tia AI,BI,CI cắt các cạnh
15/20
Cho tam giác \(ABC\), điểm \(I\) nằm trong tam giác, các tia \(AI,BI,CI\) cắt các cạnh \(BC,AC,AB\) theo thứ tự ở \(D,E,F\). Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt tia \(CI\) tại \(H\) và cắt tia \(BI\) tại \(K\).
Khi đó:
\(\frac{{AK}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{DC}}\).
\(\frac{{AF}}{{BF}} + \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{HK}}{{BC}}.\)
\(\frac{{AE}}{{CE}} + \frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{AI}}{{ID}}\).
\(\frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{EC}}{{EA}} \cdot \frac{{FA}}{{FB}} = 3.\)
a) Đúng.
Vì \(AK\parallel BD\) nên áp dụng định lí Thalès, ta có: \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AK}}{{BD}}.\) (1)
Vì \(AH\parallel DC\) nên suy ra \(\frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AH}}{{DC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AK}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{DC}}\).
b) Đúng.
Ta có \(\frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{AH}}{{BC}}{\rm{ }}\left( {AH\parallel BC} \right)\) và \(\frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{AK}}{{BC}}{\rm{ }}\left( {AK\parallel BC} \right)\).
Do đó, \(\frac{{AF}}{{BF}} + \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{AH}}{{BC}} + \frac{{AK}}{{BC}} = \frac{{HK}}{{BC}}.\)
c) Đúng.
Lại có \(\frac{{HK}}{{BC}} = \frac{{HI}}{{IC}}{\rm{ }}\left( {HK\parallel BC} \right)\) và \(\frac{{HI}}{{IC}} = \frac{{AI}}{{ID}}{\rm{ }}\left( {AH\parallel BC} \right)\).
Từ đây suy ra \(\frac{{AF}}{{BF}} + \frac{{AE}}{{CE}} = \frac{{HK}}{{BC}} = \frac{{HI}}{{IC}} = \frac{{AI}}{{ID}}\).
Suy ra \(\frac{{AE}}{{CE}} + \frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{AI}}{{ID}}\).
d) Sai.
Từ phần a), ta có: \(\frac{{AK}}{{BD}} = \frac{{AH}}{{DC}}\) suy ra \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AK}}{{AH}}\).
Lại có \(AK\parallel BC\) suy ra \(\frac{{EC}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AK}}\).
Mặt khác \(AH\parallel BC\) nên \(\frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{HA}}{{BC}}\).
Từ đây suy ra \(\frac{{BD}}{{DC}} \cdot \frac{{EC}}{{EA}} \cdot \frac{{FA}}{{FB}} = \frac{{AK}}{{AH}} \cdot & \frac{{BC}}{{AK}} \cdot \frac{{HA}}{{BC}} = 1.\)