Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Xét DABD có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác)   (1)

Xét DACD có AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác)    (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + DC

2AD < AB + AC + (BD + DC)

2AD < AB + AC + BC

Suy ra:  AD<AB+AC+BC2

Mà AB+AC+BC2  là chu vi của tam giác ABC.

Vậy AD luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.