Cho tam giác ABC đều, gọi D là điểm nằm trên BC thỏa mãn DC = 3DB. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Tính tỉ số R/r.

Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a.

Ta có DC = 3DB nên \(DC = \frac{3}{4}BC\)=\(\frac{3}{4}a\)

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên \(\widehat {ACD} = \widehat {ACB} = 60^\circ \).

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ADC, ta có:

\(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 2AC\,.\,CD\,.\,\cos \widehat {ACD}\)

\( = {a^2} + {\left( {\frac{3}{4}a} \right)^2} - 2\,.\,a\,.\,\frac{3}{4}a\,.\,\cos 60^\circ \)=\(\frac{{13}}{{16}}{a^2}\)

Do đó \(AD = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a\)

Diện tích tam giác ACD là

\(S = \frac{1}{2}AC\,.\,CD\,.\,\sin \widehat {ACD} = \frac{1}{2}\,.\,a\,.\,\frac{3}{4}a\,.\,\sin 60^\circ = \frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}\).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC là

\(R = \frac{{AD\,.\,AC\,.\,DC}}{{4S}} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a\,.\,a\,.\,\frac{3}{4}a}}{{4\,.\,\frac{{{a^2}\,.\,3\sqrt 3 }}{{16}}}} = \frac{{\sqrt {39} }}{2}a\).

Nửa chu vi tam giác ACD là

\(p = \frac{{AD + AC + CD}}{2} = \frac{{\frac{{\sqrt {13} }}{4}a + a + \frac{3}{4}a}}{2} = \frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a\)

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ADC là

\[r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}3\sqrt 3 }}{{16}}}}{{\frac{{\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}{8}a}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a\];

\[\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{\sqrt {39} }}{2}a}}{{\frac{{3\sqrt 3 }}{{2\left( {3 + \sqrt {13} } \right)}}a}} = \frac{{13 + 3\sqrt {13} }}{3}\].