Cho tam giác ABC đều. Gọi D là điểm nằm giữa A, B và E là điểm nằm giữa A, C sao cho BD = AE. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

a) Sai. Tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = BC = AC.\)

Mà \(CE = AC - AE;\,\,AD = AB - BD\) và \(AE = BD\).

Suy ra \(CE = AD.\)

b) Đúng. Ta có \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác \(ABC.\)

Suy ra \(OA = OB = OC.\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(AO\) vừa là đường trung trực vừa là đường phân giác của tam giác \(ABC.\)

Suy ra \(\widehat {BAO} = \widehat {OAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Tương tự, ta có \(\widehat {OCE} = 30^\circ \).

Xét \(\Delta OAD\)và \(\Delta OCE\), có:

\(OA = OC\) (chứng minh trên)

\(\widehat {OAD} = \widehat {OCE} = 30^\circ \).

\(CE = AD\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta OAD = \Delta OCE\) (c.g.c)

c) Đúng. Vì \(\Delta OAD = \Delta OCE\) (cmt) nên \(OD = OE\) (cặp cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác \(ODE\) cân tại \(O\).

d) Đúng. Ta có \(OD = OE\) (\(\Delta ODE\) cân tại \(O\))

Suy ra \(O\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(DE\).