Cho tam giác ABC đều có đường cao AH và có trọng tâm G. Biết rằng độ dài của vectơ AB + vectơ BC bằng 2.

11/19

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (3.0 điểm) . Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tam giác $ABC$ đều có đường cao $AH$ và có trọng tâm $G$. Biết rằng $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = 2$.

$AB = BC = AC = 2$

ĐúngSai

$\left| {\overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt 3 $

ĐúngSai

$\left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}$

ĐúngSai

Nếu điểm $M$thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {MB} } \right|$ thì giá trị nhỏ nhất của $GM$bằng $\frac{{6 - \sqrt 3 }}{3}$.

ĐúngSai

Giải thích

$Vì tam giác $ABC$ đều nên có đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến. a) Đúng. (ảnh 1)$

Vì tam giác $ABC$ đều nên có đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến.

a) Đúng.

Ta có $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 2$.

Mà tam giác $ABC$ đều nên $AB = BC = AC = 2$.

b) Sai.

Ta có $AH = AC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 $

Mà $\left| {\overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BH} } \right| = \frac{1}{2}BC = 1$

c) Sai

Vì G là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 $

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| { - \overrightarrow {GA} } \right| = GA\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right| = \frac{2}{3}AH = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\end{array}$

d) Sai

Ta có $\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 2$(1)

$\left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = AM$ (2)

Từ $(1)$và $\left( 2 \right) \Rightarrow AM = 2$.

Tập hợp điểm M nằm trên đường tròn tâm A, bán kính bằng 2.

Độ dài đoạn $GM$nhỏ nhất khi $A,G,M$thẳng hàng $ \Rightarrow GM = AM - AG = 2 - \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}$.