Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 18 cm. Gọi (O; r) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và E, F là các điểm tiếp xúc của đường tròn với các cạnh AB, AC. Một tiếp tuyến với đường tròn (O;

a) Đúng. Vì tam giác \[ABC\] đều nên \[CE\] vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, đường trung tuyến.

Do đó, \[CE = \frac{{18\sqrt 3 }}{2} = 9\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Suy ra \[OE = \frac{1}{3}CE = 3\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] là \[3\sqrt 3 {\rm{ cm}}{\rm{.}}\]

b) Sai. Xét \[\Delta OEN\] và \[\Delta ONI\] có:

\[OE = OI = r\]; \[ON\] chung; \[\widehat {OEN} = \widehat {OIN} = 90^\circ \]

Suy ra \[\Delta OEN = \Delta OIN\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

c) Sai. Ta chứng minh được \[\Delta OFM = \Delta OIM\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông);

\[\Delta OEA = \Delta OFA\] (c.c.c).

Ta có \[{S_{AEOF}} = 2{S_{AOE}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot EA \cdot EO = EA \cdot EO = \frac{1}{2}AB \cdot EO = 9 \cdot 3\sqrt 3  = 27\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

d) Đúng. Ta có: \[{S_{ENIO}} + {S_{IMFO}} = 2{S_{NOI}} + 2{S_{OIM}} = 2{S_{OMN}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot OI \cdot MN = 3\sqrt 3  \cdot 8 = 24\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Suy ra \[{S_{AMN}} = {S_{AEOF}} - {S_{ENIO}} - {S_{IMFO}} = 27\sqrt 3  - 24\sqrt 3  = 3\sqrt 3 \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\]