Cho tam giác ABC đều có cạnh AB = 8 cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

5/9

\[\frac{{\pi {a^3}}}{{54}}.\]

\[\frac{{\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{72}}.\]

\[\frac{{\pi \sqrt 3 {a^3}}}{{54}}.\]

\[\frac{{\pi {a^3}}}{{72}}.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Vì ABC là tam gúa đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giác.

Khi đó, bán kính đường tròn nội tiếp R = OH = \[\frac{{AH}}{3}.\]

Xét tam giác ABH có: AH² = AB² – BH² = a² – \[{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\].

Suy ra R = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\]

Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = \[\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\]

Do đó, V = \[\frac{4}{3}\]π. \[{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{54}}\].