Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 4M(A^2) + M(B^2) + M(C^2) = 5(a^2)/2] nằm trên một đường tròn (C) có bán kính R. Tính R

57/84

Cho tam giác \[ABC\] đều cạnh bằng \[a\]. Tập hợp các điểm \[M\] thỏa mãn đẳng thức \[4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\] nằm trên một đường tròn \[\left( C \right)\] có bán kính \[R\]. Tính \(R\).

\[R = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\].

\[R = \frac{a}{4}\].

\[R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

\[R = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\].

Giải thích

Lời giải

Chọn D.

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 4M(A^2) + M(B^2) + M(C^2) = 5(a^2)/2] nằm trên một đường tròn (C) có bán kính R. Tính R (ảnh 1)

Gọi \(N\) là trung điểm đoạn \(BC\).

Gọi \(I\) là điểm thỏa: \(4\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \), nên điểm \(I\) thuộc đoạn thẳng \(AN\) sao cho \(IN = 2IA\).

Khi đó: \(IA = \frac{1}{3}AN = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\), và \(IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

\(I{B^2} = I{C^2} = I{N^2} + B{N^2} = \frac{{{a^2}}}{3} + \frac{{{a^2}}}{4}\)\( = \frac{{7{a^2}}}{{12}}\).

Ta có: \[4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\]\( \Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\).

\( \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\)\( \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4.\frac{{{a^2}}}{{12}} + 2.\frac{{7{a^2}}}{{12}} = \frac{{5{a^2}}}{2}\)\( \Leftrightarrow MI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\).