Cho tam giác Δ ABC đều, cạnh bằng 12 cm . Gọi O là trọng tâm của Δ ABC . Vẽ đường tròn ( O ; 4 cm ) . Tính tổng diện tích phần tô đậm thuộc Δ ABC nằm ngoài hình tròn

Đáp án: 16,4

Ta có: \(AH = \frac{{12\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \) ( Vì \(AH\) là đường cao của \(\Delta ABC\) đều)

\(OH = \frac{1}{3}AH = \frac{1}{3}.6\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \) ( O là trọng tâm của\(\Delta ABC\))

\[\cos {O_1} = \frac{{OH}}{{OK}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {{O_1}} = {30^o} \Rightarrow \widehat {KOI} = {60^o} \Rightarrow \Delta KOI\] đều

Lại có: \({S_{vp}} = {S_{qKOI}} - {S_{\Delta KOI}} = \frac{{\pi {{.4}^2}.60}}{{360}} - \frac{{{4^2}.\sqrt 4 }}{4} = \frac{8}{3}\pi  - 4\sqrt 3 \)

Diện tích cần tính là: \(S = {S_{ABC}} - {S_{tr\`o n}} + 3.{S_{VP}}\)

\( = \frac{{{{12}^2}.\sqrt 3 }}{4} - \pi {.4^2} + 3.\left( {\frac{8}{3}\pi  - 4\sqrt 3 } \right)\)

\( = 36\sqrt 3  - 16\pi  + 8\pi  - 12\sqrt 3 \) \( = 24\sqrt 3  - 8\pi  \approx 16,4\,(c{m^2})\)